Conclusiones :3

El cálculo diferencial se consolidó como disciplina matemática principalmente en los siglos XVI y XVII cuando Kepler (1571-1630), Galileo (1564-1642) y Newton (1642-1727) entre otros, intentaron describir la velocidad instantánea de un cuerpo en movimiento, aunque ya en la antigüedad griega Arquímedes había planteado la versión geométrica de ese problema de mecánica cual es el problema de la recta tangente a una curva en un punto. Mediante el uso de razones de cambio fue posible calcular velocidades y aceleraciones y definir la recta tangente a una curva pero también resolver problemas de tipo práctico como por ejemplo, determinar cuando dos planetas estarían mas cercanos o mas lejanos entre sí. Para tener un buen entendimiento en cálculo debemos tener una buena base en álgebra y aritmética 
En cálculo lo que podemos definir y a lo que nos ayuda es a tener y saber como traficar una ecuación o un límite.









Infinito : si el valor numérico de una variable llega a ser y permanece mayor que cualquier numérico positivo asignado de antemano.
 En la vida cotidiana la utilizamos en un problema familiar , en un problema económico.

La importancia del Cálculo en el mundo actual es enorme, ya que la ciencia y la tecnología modernas sencillamente serían imposibles sin él. Las leyes de la naturaleza se expresan mediante ecuaciones que involucran funciones y sus derivadas, y el análisis de estas ecuaciones se realiza mediante las herramientas del cálculo. Por esa razón los cursos de esta disciplina aparecen en los planes de estudio de todas las carreras científicas y técnicas.

El Cálculo constituye una de las grandes conquistas intelectuales de la humanidad. Una vez construído, la historia de la matemática ya no fue igual: la geometría, el álgebra y la aritmética, la trigonometría, se colocaron en una nueva perspectiva teórica. Detrás de cualquier invento, descubrimiento o nueva teoría, existe, indudablemente, la evolución de ideas que hacen posible su nacimiento. Es muy interesante prestar atención en el bagaje de conocimientos que se acumula, desarrolla y evoluciona a través de los años para dar lugar, en algún momento en particular y a través de alguna persona en especial, al nacimiento de una nueva idea, de una nueva teoría, que seguramente se va a convertir en un descubrimiento importante para el estado actual de la ciencia y, por lo tanto merece el reconocimiento. El Cálculo cristaliza conceptos y métodos que la humanidad estuvo tratando de dominar por más de veinte siglos. Una larga lista de personas trabajaron con los métodos “infinitesimales” pero hubo que esperar hasta el siglo XVII para tener la madurez social, científica y matemática que permitiría construir el Cálculo que utilizamos en nuestros días. 

 

Cálculo diferencial en la sociedad

Se podría decir que el cálculo diferencial fue creado para ayudar a la sociedad pero no es reconocida ni amada por todos veamos una pequeña noticia 

Alemania.-  Un reconocido grupo de matemáticos germanos admitió ante la sociedad que el calculo diferencial e integral fue realmente inventado por un grupo de personas amargadas, lo hicieron con el objetivo de frustrar y desesperar a la gente común y hacerlos sentir igual de amargados.

 

Todos los comentarios fueron a favor del cálculo ya que algunos comentaron que nos sirve en muchas cosas y estoy deacuerdo.

1.- Por ejemplo para cálculo de probabilidades, existen funciones de distribución de probabilidad y también funciones de densidad de probabilidad. Para obtener las segundas debes obtener la derivada de la distribución. Y estas funciones son útiles para calcular seguros de vida, daños, tasas de interés, etc etc... en si cualquier tipo de riesgo que se comporte de forma continua en el tiempo.

2.- Para máximizar o minimizar cosas. Por ejemplo si quieres reducir costos en una empresa que se dedica a empacar productos X, pero descubres que puedes seguir empacando la misma cantidad de X con cajas más pequeñas. Si te pones a hacer cuentas de todo el dinero que ahorras con esa simple operación te juro que podrías tirarte a la hamaca a disfrutar de la vida.

3.- Para el análisis de regresión, series de tiempo, etc, etc. Se necesitan muchísimas derivadas. La regresión y las series de tiempo son modelos predictivos. Por ejemplo si tú creas un modelo matemático para predecir que una empresa Y va a vender P pesos si gasta G pesos en publicidad, te aseguro que cobrarías cantidades exhorbitantes porque casi nadie maneja estos modelos y con la práctica te das cuenta que no es difícil hacerlos.

4.- Sirve para procesos estrocásticos (modelos financieros muy avanzados), que aunque teóricamente no tienen derivadas, con una "barbaridad conveniente" supones que si existe derivada y haces el modelo mucho más sencillo.

5.- Si quisieras saber las soluciones de un polinomio de grado 100 no creo que quieras ponerte a factorizar o esperar 3 horas a que una computadora te lo resuelva. Para eso sacas unas derivadas para llegar al método de Newton que te hará la vida más sencilla.

6.- Puedes crear un modelo de mercado que maximizaría tus ganancias si lo aplicas de manera correcta y obtenienes las diferenciales correspondientes.

7.- Puedes crear un modelo de ecuaciones diferenciales para proponer un modelo de crecimiento poblacional, crecimiento de activos de empresas, comportamiento de partes mecánicas de un automóvil (los ingenieros te podrían explicar más de esto).

Son 7 razones por las cuales , podemos aplicarlas en la vida diaria . No por algo Newton es considerado un genio .

Aplicaciones del cálculo diferencial.

Aplicaciones del cálculo diferencial:

Algunas son en las derivadas

Las derivadas se definen tomando el limite de la pendiente de las rectas secantes conforme se van aproximando a la recta tangente .

Envolvente de una familia de curvas : por regla general la ecuación de una curva contiene además, las variables x /y , ciertas constantes de las cuales dependen del tamaño , la forma y la posición de la curva particular . Por ejemplo : (x-a)^2 +y =r^2 .
En una circunferencia cuyo centro está en el eje de  las x a la distancia de a  y cuyo tamaño depende del radio. Si suponemos que a toma varios valores mientras que r se mantiene fijo entonces tendremos una serie correspondiente de círculos igual a la de radio que diferirán en sus distancias el origen . Un sistema de curvas formando un sistema más de curvas llamada familia de curvas .

Otra es en la pendiente de un punto cualquiera dy/df= fx(x,y,a)/fu(x,y,a).
De acuerdo con el rumbo que tome la familia de curvas se dividirá el las pendientes tangentes.
Otra son los límites:

Consideramos la función definida por f (x) = x2 − 1 con dominio en R . La representación gráfica es la siguiente:
Nos interesa calcular el área de región limitada por la parábola con ecuación y = x2 , el eje X y la recta de ecuación x = 1.

La representación gráfica de esta región es la siguiente: 

Probar que lim (2x−1)=3 x→2
Solución: Debe probarse que ε>0, existe δ>0,tal que |(2x−1)−3|<ε siempre que 0<|x−2|<δ. Vamos a establecer una relación entre |(2x − 1) − 3| y |x − 2| .
Como |(2x−1)−3|=|2x−1−3|=|2x−4|=|2(x−2)|=|2||x−2| osea |(2x − 1) − 3| = 2|x − 2|.
Entonces,para hacer |(2x−1)−3| menor que ε, es suficiente que  |x−2|< ε, por lo que puede tomarse  δ= ε. Luego,dado ε>0, existe δ>0, (δ= ε) tal que sí  0<|x−2|<δ entonces |(2x−1)−3|<ε. 2. 

Límites  laterales: 
Hasta el momento hemos visto límites de funciones cuyo trazo es continuo, sin cortes o saltos bruscos. Sin embargo, existen algunas funciones que presentan algunas discontinuidades, llamadas funciones discontinuas y que estudi- aremos en el tema continuidad de funciones. Nos dedicaremos ahora a estudiar los límites en este tipo de funciones.

Consideremos la siguiente representación gráfica de una función f , en la que existe una discontinuidad cuando x = a:
Notemos que cuando x tiende hacia “a” por la derecha de “a” la función tiende a 2, pero cuando x tiende hacia “a” por la izquierda de “a”, la función tiende hacia 1.

Escribimos x → a+ para indicar que x tiende hacia “ a ” por la derecha, es decir, tomando valores mayores que “ a ”. Similarmente x → a− indica que x tiende hacia “ a ” por la 
izquierda, o sea, tomando valores menores que “ a ”.
Utilizando ahora la notación de límites, escribimos lim f (x) = 2 y lim f (x) = 1 . Estos límites reciben el nombre x→a+ x→a−
de límites laterales; el límite por la derecha es 2 y el límite por la izquierda es 1. 

Límites infinitos y límites al infinito
El símbolo ∞ se lee infinito, es de carácter posicional, no representa ningún número real.
Si una variable independiente x está creciendo indefinidamente a través de valores positivos, se escribe x → +∞ (que se lee: x tiende a más infinito), y si decrece a través de valores negativos, se denota como x → −∞ (que se lee: x tiende a menos infinito).
Similarmente, cuando f (x) crece indefinidamente y toma valores positivos cada vez mayores, se escribe f (x) → +∞, y si decrece tomando valores negativos escribimos f (x) → −∞.
Consideramos la función f definida por f (x) = 1 para x ∈ R − {2}. Vamos a determinar el comportamiento x−2
de la función cuando x → 2 cuando x → +∞ y cuando x → −∞. Para ello nos ayudamos de las tablas siguientes: En este caso, cuando x → 2+, o sea, (x → 2, x > 2), la función f (x) tiende a tomar valores positivos cada vez 

Límites infinitos y límites al infinito
El símbolo ∞ se lee infinito, es de carácter posicional, no representa ningún número real.
Si una variable independiente x está creciendo indefinidamente a través de valores positivos, se escribe x → +∞ (que se lee: x tiende a más infinito), y si decrece a través de valores negativos, se denota como x → −∞ (que se lee: x tiende a menos infinito).
Similarmente, cuando f (x) crece indefinidamente y toma valores positivos cada vez mayores, se escribe f (x) → +∞, y si decrece tomando valores negativos escribimos f (x) → −∞.
Consideramos la función f definida por f (x) = 1 para x ∈ R − {2}. Vamos a determinar el comportamiento x−2
de la función cuando x → 2 cuando x → +∞ y cuando x → −∞. Para ello nos ayudamos de las tablas siguientes: En este caso, cuando x → 2+, o sea, (x → 2, x > 2), la función f (x) tiende a tomar valores positivos cada vez menores. 


Funciones:

Cuando empezó a desarrollarse el cálculo, la mayor parte de las funciones con las que se trabajaba eran continuas, y por lo tanto no se sentía la necesidad de penetrar en el significado exacto de continuidad. Fue ya entrado el siglo XVIII que se presentaron algunas funciones discontinuas en conexión con distintas clases de problemas físicos. En particular, los trabajos de J.B.J. Fourier (1758-1830) sobre la Teoría del calor, obligaron a los matemáticos de princi- pios de siglo XIX a examinar cuidadosamente el significado de los conceptos de función y continuidad.
A pesar de que el significado de la palabra “continuo” parece intuitivamente clara a todo el mundo, no es fácil imag- inarse cuál sería una buena definición de esta idea. Un diccionario popular da la siguiente definición de continuidad:
Continuidad: Cualidad o condición de ser continuo.
Continuo: Que tiene continuidad entre las partes.
Intentar aprender el significado de continuidad únicamente a partir de estas dos definiciones, es lo mismo que intentar aprender chino con sólo un diccionario chino. Una definición matemática satisfactoria de continuidad, expresada enteramente por medio de las propiedades del sistema de los números reales, fue formulada por primera vez en 1821 por el matemático francés Agustín-Louis Cauchy (1789-1857) (Apostol, 1977, 156). Antes de dar la definición de continuidad de una función en un punto, veremos el comportamiende algunas funciones que no son continuas. 

Historia del cálculo diferencial.

¿Qué es el cálculo diferencial?

El Cálculo Infinitesimal es la rama de las matemáticas que comprende el estudio y aplicaciones del Cálculo Diferencial e Integral.

El Cálculo es la matemática del cambio: velocidades y aceleraciones. Cálculo es también la matemática de rectas tangentes, pendientes, áreas, volúmenes, longitudes de arco, centroides, curvaturas y otros diversos conceptos que han hecho que los científicos, ingenieros y economistas puedan modelar situaciones de la vida real.

Los orígenes del cálculo se remontan unos 2500 años por lo menos, hasta los antiguos griegos, quienes hallaron áreas aplicando el “método de agotamiento”. Sabían cómo hallar el área de cualquier polígono al dividirlo en triángulos (método de triangulación), y sumar las áreas de estos triángulos  A. Los griegos no aplicaron explícitamente los límites. Sin embargo, por razonamiento indirecto, Eudoxo (siglo v a. n. e.) utilizó el agotamiento para probar la conocida fórmula del área de un círculo: . 2 r A

El cálculo diferencial se origina en el siglo XVII al realizar estudios sobre el movimiento, es decir, al estudiar la velocidad de los cuerpos al caer al vacío ya que cambia de un momento a otro; la velocidad en cada instante debe calcularse teniendo en cuenta la distancia que recorre en un tiempo infinitesimalmente pequeño.

Los verdaderos creadores del cálculo : 

Newton y Leibniz son considerados los inventores del cálculo pero representan un eslabón en una larga cadena iniciada muchos siglos antes. Fueron ellos quienes dieron a los procedimientos infinitesimales de sus antecesores inmediatos, Barrow y Fermat, la unidad algorítmica y la precisión necesaria como método novedoso y de generalidad suficiente para su desarrollo posterior. Estos desarrollos estuvieron elaborados a partir de visiones de hombres como Torricelli, Cavalieri, y Galileo; o Kepler, Valerio, y Stevin. Los alcances de las operaciones iniciales con infinitesimales que estos hombres lograron, fueron también resultado directo de las contribuciones de Oresme, Arquímedes y Eudoxo. Finalmente el trabajo de estos últimos estuvo inspirado por problemas matemáticos y filosóficos sugeridos por Aristóteles, Platón, Tales de Mileto, Zenón y Pitágoras. Para tener la perspectiva científica e histórica apropiada, debe reconocerse que una de las contribuciones previas decisivas fue la Geometría Analítica desarrollada independientemente por Descartes y Fermat.

Sin la contribución de éstos y de muchos otros hombres más, el cálculo de Newton y Leibniz seguramente no existiría. Su construcción fue parte importante de la revolución científica que vivió la Europa del siglo XVII.Los nuevos métodos enfatizaron la experiencia empírica y la descripción matemática de nuestra relación con la realidad. La revolución científica supuso una ruptura con las formas de pensar, estudiar y vincularse con la naturaleza que dominaron casi absolutamente en Europa entre los siglos V y XV. Esta ruptura y salto en la historia del conocimiento estuvieron precedidos por las importantes transformaciones que se vivieron durante los siglos XV y XVI con el Renacimiento y la Reforma Protestante. El Cálculo Diferencial e Integral están en el corazón del tipo de conocimiento, cultura y de sociedad de la que, esencialmente, somos parte.

El extraordinario avance registrado por la matemática, la física y la técnica durante los siglos XVIII, XIX y XX, se lo debemos al Cálculo infinitesimal y por eso se puede considerar como una de las joyas de la creación intelectual de la que el hombre puede sentirse orgulloso.