Aplicaciones del cálculo diferencial:
Algunas son en las derivadas
Las derivadas se definen tomando el limite de la pendiente de las rectas secantes conforme se van aproximando a la recta tangente .
Envolvente de una familia de curvas : por regla general la ecuación de una curva contiene además, las variables x /y , ciertas constantes de las cuales dependen del tamaño , la forma y la posición de la curva particular . Por ejemplo : (x-a)^2 +y =r^2 .
En una circunferencia cuyo centro está en el eje de las x a la distancia de a y cuyo tamaño depende del radio. Si suponemos que a toma varios valores mientras que r se mantiene fijo entonces tendremos una serie correspondiente de círculos igual a la de radio que diferirán en sus distancias el origen . Un sistema de curvas formando un sistema más de curvas llamada familia de curvas .
Otra es en la pendiente de un punto cualquiera dy/df= fx(x,y,a)/fu(x,y,a).
De acuerdo con el rumbo que tome la familia de curvas se dividirá el las pendientes tangentes.
Otra son los límites:
Consideramos la función definida por f (x) = x2 − 1 con dominio en R . La representación gráfica es la siguiente:
Nos interesa calcular el área de región limitada por la parábola con ecuación y = x2 , el eje X y la recta de ecuación x = 1.
La representación gráfica de esta región es la siguiente:
Nos interesa calcular el área de región limitada por la parábola con ecuación y = x2 , el eje X y la recta de ecuación x = 1.
La representación gráfica de esta región es la siguiente:
Probar que lim (2x−1)=3 x→2
Solución: Debe probarse que ε>0, existe δ>0,tal que |(2x−1)−3|<ε siempre que 0<|x−2|<δ. Vamos a establecer una relación entre |(2x − 1) − 3| y |x − 2| .
Como |(2x−1)−3|=|2x−1−3|=|2x−4|=|2(x−2)|=|2||x−2| osea |(2x − 1) − 3| = 2|x − 2|.
Entonces,para hacer |(2x−1)−3| menor que ε, es suficiente que |x−2|< ε, por lo que puede tomarse δ= ε. Luego,dado ε>0, existe δ>0, (δ= ε) tal que sí 0<|x−2|<δ entonces |(2x−1)−3|<ε. 2.
Límites laterales:
Hasta el momento hemos visto límites de funciones cuyo trazo es continuo, sin cortes o saltos bruscos. Sin embargo, existen algunas funciones que presentan algunas discontinuidades, llamadas funciones discontinuas y que estudi- aremos en el tema continuidad de funciones. Nos dedicaremos ahora a estudiar los límites en este tipo de funciones.
Solución: Debe probarse que ε>0, existe δ>0,tal que |(2x−1)−3|<ε siempre que 0<|x−2|<δ. Vamos a establecer una relación entre |(2x − 1) − 3| y |x − 2| .
Como |(2x−1)−3|=|2x−1−3|=|2x−4|=|2(x−2)|=|2||x−2| osea |(2x − 1) − 3| = 2|x − 2|.
Entonces,para hacer |(2x−1)−3| menor que ε, es suficiente que |x−2|< ε, por lo que puede tomarse δ= ε. Luego,dado ε>0, existe δ>0, (δ= ε) tal que sí 0<|x−2|<δ entonces |(2x−1)−3|<ε. 2.
Límites laterales:
Hasta el momento hemos visto límites de funciones cuyo trazo es continuo, sin cortes o saltos bruscos. Sin embargo, existen algunas funciones que presentan algunas discontinuidades, llamadas funciones discontinuas y que estudi- aremos en el tema continuidad de funciones. Nos dedicaremos ahora a estudiar los límites en este tipo de funciones.
Consideremos la siguiente representación gráfica de una función f , en la que existe una discontinuidad cuando x = a:
Notemos que cuando x tiende hacia “a” por la derecha de “a” la función tiende a 2, pero cuando x tiende hacia “a” por la izquierda de “a”, la función tiende hacia 1.
Notemos que cuando x tiende hacia “a” por la derecha de “a” la función tiende a 2, pero cuando x tiende hacia “a” por la izquierda de “a”, la función tiende hacia 1.
Escribimos x → a+ para indicar que x tiende hacia “ a ” por la derecha, es decir, tomando valores mayores que “ a ”. Similarmente x → a− indica que x tiende hacia “ a ” por la
izquierda, o sea, tomando valores menores que “ a ”.
Utilizando ahora la notación de límites, escribimos lim f (x) = 2 y lim f (x) = 1 . Estos límites reciben el nombre x→a+ x→a−
de límites laterales; el límite por la derecha es 2 y el límite por la izquierda es 1.
izquierda, o sea, tomando valores menores que “ a ”.
Utilizando ahora la notación de límites, escribimos lim f (x) = 2 y lim f (x) = 1 . Estos límites reciben el nombre x→a+ x→a−
de límites laterales; el límite por la derecha es 2 y el límite por la izquierda es 1.
Límites infinitos y límites al infinito
El símbolo ∞ se lee infinito, es de carácter posicional, no representa ningún número real.
Si una variable independiente x está creciendo indefinidamente a través de valores positivos, se escribe x → +∞ (que se lee: x tiende a más infinito), y si decrece a través de valores negativos, se denota como x → −∞ (que se lee: x tiende a menos infinito).
Similarmente, cuando f (x) crece indefinidamente y toma valores positivos cada vez mayores, se escribe f (x) → +∞, y si decrece tomando valores negativos escribimos f (x) → −∞.
Consideramos la función f definida por f (x) = 1 para x ∈ R − {2}. Vamos a determinar el comportamiento x−2
de la función cuando x → 2 cuando x → +∞ y cuando x → −∞. Para ello nos ayudamos de las tablas siguientes: En este caso, cuando x → 2+, o sea, (x → 2, x > 2), la función f (x) tiende a tomar valores positivos cada vez
El símbolo ∞ se lee infinito, es de carácter posicional, no representa ningún número real.
Si una variable independiente x está creciendo indefinidamente a través de valores positivos, se escribe x → +∞ (que se lee: x tiende a más infinito), y si decrece a través de valores negativos, se denota como x → −∞ (que se lee: x tiende a menos infinito).
Similarmente, cuando f (x) crece indefinidamente y toma valores positivos cada vez mayores, se escribe f (x) → +∞, y si decrece tomando valores negativos escribimos f (x) → −∞.
Consideramos la función f definida por f (x) = 1 para x ∈ R − {2}. Vamos a determinar el comportamiento x−2
de la función cuando x → 2 cuando x → +∞ y cuando x → −∞. Para ello nos ayudamos de las tablas siguientes: En este caso, cuando x → 2+, o sea, (x → 2, x > 2), la función f (x) tiende a tomar valores positivos cada vez
Límites infinitos y límites al infinito
El símbolo ∞ se lee infinito, es de carácter posicional, no representa ningún número real.
Si una variable independiente x está creciendo indefinidamente a través de valores positivos, se escribe x → +∞ (que se lee: x tiende a más infinito), y si decrece a través de valores negativos, se denota como x → −∞ (que se lee: x tiende a menos infinito).
Similarmente, cuando f (x) crece indefinidamente y toma valores positivos cada vez mayores, se escribe f (x) → +∞, y si decrece tomando valores negativos escribimos f (x) → −∞.
Consideramos la función f definida por f (x) = 1 para x ∈ R − {2}. Vamos a determinar el comportamiento x−2
de la función cuando x → 2 cuando x → +∞ y cuando x → −∞. Para ello nos ayudamos de las tablas siguientes: En este caso, cuando x → 2+, o sea, (x → 2, x > 2), la función f (x) tiende a tomar valores positivos cada vez menores.
Funciones:
El símbolo ∞ se lee infinito, es de carácter posicional, no representa ningún número real.
Si una variable independiente x está creciendo indefinidamente a través de valores positivos, se escribe x → +∞ (que se lee: x tiende a más infinito), y si decrece a través de valores negativos, se denota como x → −∞ (que se lee: x tiende a menos infinito).
Similarmente, cuando f (x) crece indefinidamente y toma valores positivos cada vez mayores, se escribe f (x) → +∞, y si decrece tomando valores negativos escribimos f (x) → −∞.
Consideramos la función f definida por f (x) = 1 para x ∈ R − {2}. Vamos a determinar el comportamiento x−2
de la función cuando x → 2 cuando x → +∞ y cuando x → −∞. Para ello nos ayudamos de las tablas siguientes: En este caso, cuando x → 2+, o sea, (x → 2, x > 2), la función f (x) tiende a tomar valores positivos cada vez menores.
Funciones:
Cuando empezó a desarrollarse el cálculo, la mayor parte de las funciones con las que se trabajaba eran continuas, y por lo tanto no se sentía la necesidad de penetrar en el significado exacto de continuidad. Fue ya entrado el siglo XVIII que se presentaron algunas funciones discontinuas en conexión con distintas clases de problemas físicos. En particular, los trabajos de J.B.J. Fourier (1758-1830) sobre la Teoría del calor, obligaron a los matemáticos de princi- pios de siglo XIX a examinar cuidadosamente el significado de los conceptos de función y continuidad.
A pesar de que el significado de la palabra “continuo” parece intuitivamente clara a todo el mundo, no es fácil imag- inarse cuál sería una buena definición de esta idea. Un diccionario popular da la siguiente definición de continuidad:
Continuidad: Cualidad o condición de ser continuo.
Continuo: Que tiene continuidad entre las partes.
Intentar aprender el significado de continuidad únicamente a partir de estas dos definiciones, es lo mismo que intentar aprender chino con sólo un diccionario chino. Una definición matemática satisfactoria de continuidad, expresada enteramente por medio de las propiedades del sistema de los números reales, fue formulada por primera vez en 1821 por el matemático francés Agustín-Louis Cauchy (1789-1857) (Apostol, 1977, 156). Antes de dar la definición de continuidad de una función en un punto, veremos el comportamiende algunas funciones que no son continuas.
A pesar de que el significado de la palabra “continuo” parece intuitivamente clara a todo el mundo, no es fácil imag- inarse cuál sería una buena definición de esta idea. Un diccionario popular da la siguiente definición de continuidad:
Continuidad: Cualidad o condición de ser continuo.
Continuo: Que tiene continuidad entre las partes.
Intentar aprender el significado de continuidad únicamente a partir de estas dos definiciones, es lo mismo que intentar aprender chino con sólo un diccionario chino. Una definición matemática satisfactoria de continuidad, expresada enteramente por medio de las propiedades del sistema de los números reales, fue formulada por primera vez en 1821 por el matemático francés Agustín-Louis Cauchy (1789-1857) (Apostol, 1977, 156). Antes de dar la definición de continuidad de una función en un punto, veremos el comportamiende algunas funciones que no son continuas.
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